A game theoretical approach to the algebraic counterpart of the Wagner hierarchy

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UNIL restricted access
State: Public
Version: After imprimatur
License: Not specified
Serval ID
serval:BIB_R_8771
Type
PhD thesis: a PhD thesis.
Collection
Publications
Institution
Title
A game theoretical approach to the algebraic counterpart of the Wagner hierarchy
Author(s)
Cabessa J.
Director(s)
Duparc J.
Codirector(s)
Pin J.E.
Institution details
Université de Lausanne, Faculté des hautes études commerciales
Address
Administration BFSH1, 1015 Lausanne
Publication state
Accepted
Issued date
2007
Language
english
Number of pages
153
Notes
Cotutelle avec l'Université Paris Diderot - Paris 7
Abstract
La hiérarchie de Wagner constitue à ce jour la plus fine classification des langages ω-réguliers. Par ailleurs, l'approche algébrique de la théorie de langages formels montre que ces ensembles ω-réguliers correspondent précisément aux langages reconnaissables par des ω-semigroupes finis pointés. Ce travail s'inscrit dans ce contexte en fournissant une description complète de la contrepartie algébrique de la hiérarchie de Wagner, et ce par le biais de la théorie descriptive des jeux de Wadge. Plus précisément, nous montrons d'abord que le degré de Wagner d'un langage ω-régulier est effectivement un invariant syntaxique. Nous définissons ensuite une relation de réduction entre ω-semigroupes pointés par le biais d'un jeu infini de type Wadge. La collection de ces structures algébriques ordonnée par cette relation apparaît alors comme étant isomorphe à la hiérarchie de Wagner, soit un quasi bon ordre décidable de largeur 2 et de hauteur ω. Nous exposons par la suite une procédure de décidabilité de cette hiérarchie algébrique : on décrit une représentation graphique des ω-semigroupes finis pointés, puis un algorithme sur ces structures graphiques qui calcule le degré de Wagner de n'importe quel élément. Ainsi le degré de Wagner de tout langage ω-régulier peut être calculé de manière effective directement sur son image syntaxique. Nous montrons ensuite comment construire directement et inductivement une structure de n''importe quel degré. Nous terminons par une description détaillée des invariants algébriques qui caractérisent tous les degrés de cette hiérarchie.
Abstract
The Wagner hierarchy is known so far to be the most refined topological classification of ω-rational languages. Also, the algebraic study of formal languages shows that these ω-rational sets correspond precisely to the languages recognizable by finite pointed ω-semigroups. Within this framework, we provide a construction of the algebraic counterpart of the Wagner hierarchy. We adopt a hierarchical game approach, by translating the Wadge theory from the ω-rational language to the ω-semigroup context. More precisely, we first show that the Wagner degree is indeed a syntactic invariant. We then define a reduction relation on finite pointed ω-semigroups by means of a Wadge-like infinite two-player game. The collection of these algebraic structures ordered by this reduction is then proven to be isomorphic to the Wagner hierarchy, namely a well-founded and decidable partial ordering of width 2 and height $\omega^\omega$. We also describe a decidability procedure of this hierarchy: we introduce a graph representation of finite pointed ω-semigroups allowing to compute their precise Wagner degrees. The Wagner degree of every ω-rational language can therefore be computed directly on its syntactic image. We then show how to build a finite pointed ω-semigroup of any given Wagner degree. We finally describe the algebraic invariants characterizing every Wagner degree of this hierarchy.
Keywords
ω-automates, langages ω-réguliers, ω-semigroupes, jeux infinis, jeu de Wadge, hiérarchie de Wadge, hiérarchie de Wagner, ω-automata, ω-rational languages, ω-semigroups, infinite games, hierarchical games, Wadge game, Wadge hierarchy, Wagner hierarchy
Create date
09/12/2009 10:53
Last modification date
30/05/2020 5:18
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