Etude des modèles de Whittle markoviens probabilisés
Résumé
Le modèle de Whittle markovien probabilisé est un modèle de champ spatial
autorégressif simultané d'ordre 1 qui exprime simultanément chaque variable
du champ comme une moyenne pondérée aléatoire des variables adjacentes du
champ, amortie d'un coefficient multiplicatif ρ, et additionnée d'un terme d'erreur
(qui est une variable gaussienne homoscédastique spatialement indépendante, non
mesurable directement). Dans notre cas, la moyenne pondérée est une moyenne
arithmétique qui est aléatoire du fait de deux conditions : (a) deux variables sont
adjacentes (au sens d'un graphe) avec une probabilité 1 − p si la distance qui les
sépare est inférieure à un certain seuil, (b) il n'y a pas d'adjacence pour des distances
au-dessus de ce seuil. Ces conditions déterminent un modèle d'adjacence (ou
modèle de connexité) du champ spatial. Un modèle de Whittle markovien probabilisé
aux conditions où p = 0 donne un modèle de Whittle classique qui est plus
familier en géographie, économétrie spatiale, écologie, sociologie, etc. et dont ρ est
le coefficient d'autorégression. Notre modèle est donc une forme probabilisée au
niveau de la connexité du champ de la forme des modèles de Whittle classiques,
amenant une description innovante de l'autocorrélation spatiale.
Nous commençons par décrire notre modèle spatial en montrant les effets de la
complexité introduite par le modèle de connexité sur le pattern de variances et la
corrélation spatiale du champ. Nous étudions ensuite la problématique de l'estimation
du coefficent d'autorégression ρ pour lequel au préalable nous effectuons une
analyse approfondie de son information au sens de Fisher et de Kullback-Leibler.
Nous montrons qu'un estimateur non biaisé efficace de ρ possède une efficacité qui
varie en fonction du paramètre p, généralement de manière non monotone, et de la
structure du réseau d'adjacences. Dans le cas où la connexité du champ est non observée,
nous montrons qu'une mauvaise spécification de l'estimateur de maximum
de vraisemblance de ρ peut biaiser celui-ci en fonction de p. Nous proposons dans
ce contexte d'autres voies pour estimer ρ.
Pour finir, nous étudions la puissance des tests de significativité de ρ pour lesquels
les statistiques de test sont des variantes classiques du I de Moran (test de
Cliff-Ord) et du I de Moran maximal (en s'inspirant de la méthode de Kooijman).
Nous observons la variation de puissance en fonction du paramètre p et du coefficient
ρ, montrant par cette voie la dualité de l'autocorrélation spatiale entre
intensité et connectivité dans le contexte des modèles autorégressifs