Le domaine de l'hydrogéophysique se définit comme l'application de méthodes géophy¬siques à des problèmes hydrologiques. Dans le but de caractériser les propriétés importantes du sous-sol ainsi que leur incertitude relative à partir de mesures géophysiques, les proprié¬tés du sous-sol sont décrites par un ensemble de paramètres et, basé sur les phénomènes physiques sous-jacents, un solveur numérique capable de reproduire le type de données observées en fonction de ces paramètres est retenu. Bien souvent, plusieurs solveurs numé¬riques existent et diffèrent par leur précision et leur justesse. L'emploi de solveur numérique simplifiant grandement les phénomènes physiques sous-jacents permet certes de réduire drastiquement les coûts de calcul liés à la formulation du problème inverse, mais conduit à des erreurs de modèle. Si ces erreurs de modèle ne sont pas prises en compte, cela peut augmenter considérablement le biais des paramètres estimés et mener à une sous-estimation de l'incertitude. Les approches existantes pour traiter l'erreur de modèle se restreignent essentiellement à des problèmes de petite dimension ou bien reposent sur des hypothèses très fortes concernant les propriétés statistiques des erreur de modèle. Dans cette thèse, je développe une nouvelle méthode qui prend en compte l'erreur de modèle dans une inversion Bayésienne, et je l'applique à divers exemples qui traduisent des pro¬blèmes pertinents en hydrologie. Contrairement aux approches traditionnelles qui caracté¬risent l'erreur de modèle par des distributions statistiques paramétriques ou par construction d'un modèle d'erreur, ma méthode se focalise sur l'identification de composantes d'erreur de modèle de résidus par projection orthogonale. Plus spécifiquement, le résidu est projeté sur une base orthonormale d'erreur de modèle qui est construite par analyse de différence de résultats obtenus par solveur de physique simplifiée ou détaillée à partir d'un ensemble de réalisations stochastiques. Cette approche repose sur l'hypothèse que l'erreur de modèle est orthogonale aux autres composantes des résidus et de fait séparable.
Dans cette thèse, la méthode que je propose est tout d'abord appliquée à l'inversion de données synthétiques de radar à pénétration de sol (GPR), relatives à la teneur en eau, acquises lors d'une expérience d'infiltration forcée en milieu non-saturé. Dans ce cas, l'erreur de modèle est construite comme une base globale unique.Ensuite, la méthode est utilisée pour inverser des données synthétiques de temps d'arrivée GPR entre forages, afin d'inférer à la vitesse de propagation des ondes entre les forage. Dans ce cas, il a été nécessaire d'apporter une modification, pour permettre le développement d'une base d'erreur de modèle locale. Cette base est développée lors de la procédure d'inversion et repose sur l'utilisation des K réalisations d'erreur de modèle les plus proches de l'état actuel dans l'espace des paramètres. Finalement, l'approche proposée est appliquée à l'inversion de données synthétiques de temps d'arrivée de GPR entre forages à partir d'une technique d'atténuation d'ensemble itérative. L'approche d'erreur de modèle proposée peut être appliquée à des problèmes d'estimation de paramètres à grande échelle, sans avoir besoin de formuler d'hypothèses sur les statistiques d'erreur de modèle. Les résultats obtenus dans cette thèse sont prometteurs quant à l'application de la méthode à d'autres exemples et à des problèmes inverses issus de données réelles.
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The field of hydrogeophysics concerns the application of geophysical methods to hydrological problems. To estimate hydrologically relevant subsurface properties and their corresponding uncertainties from geophysical data, the subsurface must be parameterized and a forward solver must be chosen to represent the physics of the underlying measurement process. In this regard, several forward solvers often exist having différent levels of accuracy. Employing simplified forward solvers can reduce the computational costs of the inverse problem but leads to model error. If this model error is not accounted for, parameter estimâtes can become strongly biased and overconfident. Existing approaches to deal with model error are mainly limited to low-dimensional problems or based on strong assumptions about the statistical distribution of the model error.
In this thesis I develop an alternative method to account for model error in Bayesian inver¬sion, and I apply it to a number of hydrologically relevant example problems. In contrast to traditional approaches aimed towards characterizing the model error through parametric sta-tistical distributions or construction of an error model, my method focuses on identification ofthe model-error component of the residual through orthogonal projection. Specifically, the residual is projected onto an orthonormal model-error basis that is constructed through the analysis of stochastic realizations of the différence between the simplified and detailed for¬ward solvers. The approach is based on the assumption that the model error lies orthogonal to the other components of the residual and is therefore separable.
In the thesis, my proposed method is first applied to the inversion of synthetic ground- penetrating-radar- (GPR-) derived water content data, acquired during a forced infiltration experiment, for unsaturated soil hydraulic properties. In this case, a single global basis is constructed for the model error. Next, the method is used to invert synthetic crosshole GPR travel-time data for the distribution of the radar wave speed between the boreholes, where a modification was necessary to allow for the development of a local model error basis. This basis is developed during the inversion procédure and is constructed using the K-nearest- neighboring model-error realizations to current location in the parameter space. Finally, the proposed approach is applied to synthetic crosshole GPR travel-time inversion performed with an iterative ensemble smoothing technique. The proposed model-error approach can be applied to large scale parameter-estimation problems without assumptions regarding the model-error statistics. The results in the thesis motivate the application to other examples and real-world inverse problems.